一、題意介紹

2022美賽e題，是一道經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)流算法題目，考察的是多源匯最小費(fèi)用最大流問題。題目中給出一個(gè)有向帶權(quán)圖，其中每條邊都有最大容量和單位費(fèi)用。還給出了n個(gè)源點(diǎn)和n個(gè)匯點(diǎn)，要求從源點(diǎn)送n個(gè)單位的流量到匯點(diǎn)，每個(gè)源點(diǎn)只能送1個(gè)單位的流量，匯點(diǎn)也只能接收1個(gè)單位的流量。求在滿足這個(gè)條件的前提下，最小化發(fā)送費(fèi)用。

這道題目看上去比較復(fù)雜，但是只要掌握了相關(guān)的算法和思路，就可以簡(jiǎn)單高效地解決。下面分別從網(wǎng)絡(luò)流、費(fèi)用流、Dijkstra算法和多源匯問題四個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)分析。

二、網(wǎng)絡(luò)流

網(wǎng)絡(luò)流算法是指在一個(gè)圖中尋找一條從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的路徑，使得路徑中所有邊的權(quán)值之和最小（或最大）。網(wǎng)絡(luò)流算法中比較經(jīng)典的有 Ford-Fulkerson 算法，Dinic 算法，Edmonds-Karp算法 等。

三、費(fèi)用流

費(fèi)用流問題指的是找到一條從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的路徑，使得路徑上所有邊的流量都大于等于0，同時(shí)使得路徑上所有邊的費(fèi)用之和最小或最大。

四、Dijkstra算法

Dijkstra算法是由荷蘭計(jì)算機(jī)科學(xué)家Edsger W. Dijkstra在1956年發(fā)明，用于解決帶權(quán)有向圖或無向圖的單源最短路徑問題。其基本思想是貪心，每一次找到一個(gè)距離源點(diǎn)最近的未標(biāo)記頂點(diǎn)，并將其標(biāo)記，然后根據(jù)這個(gè)頂點(diǎn)的出邊更新與它直接相鄰的頂點(diǎn)到源點(diǎn)的距離。

// Dijkstra算法偽代碼
for (i=1; i<=n; i++) {
    dist[i] = inf;
    vis[i] = false;
}
dist[s] = 0;
for (i=1; i<=n; i++) {
    int minDist = inf, u = -1;
    for (j=1; j<=n; j++) {
        if (!vis[j] && minDist > dist[j]) {
            minDist = dist[j];
            u = j;
        }
    }
    if (u == -1) break;
    vis[u] = true;
    for (int k=head[u]; k; k=edge[k].next) {
        int v = edge[k].to;
        if (dist[v] > dist[u] + edge[k].w) {
            dist[v] = dist[u] + edge[k].w;
        }
    }
}

五、多源匯問題

多源匯問題指的是給定一個(gè)有向圖中，存在多個(gè)源點(diǎn)和多個(gè)匯點(diǎn)，要求從源點(diǎn)到匯點(diǎn)傳輸一定數(shù)量的流量，同時(shí)存在一定的源點(diǎn)-匯點(diǎn)流量約束條件。

多源匯問題可以轉(zhuǎn)化為最小費(fèi)用最大流問題，具體做法是將源點(diǎn)向匯點(diǎn)連一條容量為1，費(fèi)用為0的邊，然后通過建立超級(jí)源點(diǎn)和超級(jí)匯點(diǎn)的方式，將多個(gè)源點(diǎn)和多個(gè)匯點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單個(gè)源點(diǎn)和匯點(diǎn)的方式，再進(jìn)行求解。

// 多源匯問題偽代碼
for (i=1; i<=n; i++) {
    add_edge(s, i, 1, 0);
    add_edge(i+n, t, 1, 0);
    for (j=1; j<=n; j++) {
        int cost;
        scanf("%d", &cost);
        add_edge(i, j+n, 1, cost);
    }
}
int flow, cost;
min_cost_flow(s, t, INF, flow, cost);
printf("%d\n", cost);

六、總結(jié)

綜上所述，2022美賽e題是一道操作難度較高的網(wǎng)絡(luò)流算法題目，考察了多種經(jīng)典的算法和思路，包括Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、費(fèi)用流算法、Dijkstra算法和多源匯問題。對(duì)于學(xué)習(xí)者來說，需要多加練習(xí)，深入理解每個(gè)算法的思想和實(shí)現(xiàn)方式，在實(shí)踐中不斷提高調(diào)試和優(yōu)化的能力，才能真正掌握這些知識(shí)點(diǎn)。